Coherence Theory

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    1 Was ist ein Kohärenzproblem?
    2 Kohärenz- und Inkohärenzrelationen
    2. 1 Kohärenzrelationen
    2. 2 Kontradiktionen und konträre Propositionen
    2. 3 Deduktionen
    2. 4 Der Konkurrenzbegriff
    3 Constraints
    3. 1 Positive Constraints
    3. 2 Negative Constraints
    4 Constraint-Erfüllung
    5 Daten
    6 Akzeptanzgrade
    7 Vagheit der Constraint-Erfüllung
    8 Systematische Kohärenz als Maß der Constraint-Erfüllung
    9 Kohärenz und Konsistenz
    10 Literatur

    1 Was ist ein Kohärenzproblem?

    Der Begriff Kohärenz ist für die Philosophie von großem Gewicht. Im Gegensatz zu den Begriffen der deduktiven Logik und der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der Begriff Kohärenz jedoch bis heute sehr vage.

    Es soll in meiner Dissertation - so der Auftrag - ein Kalkül zur Bestimmung der Kohärenz eines Überzeugungssystems entworfen werden.

    Ein solches Kalkül kann uns insbesondere helfen, Überzeugungssysteme, ganz gleich, ob es wissenschaftliche Theorien, Aussagen vor Gericht oder Wissensbasen auf einem Computer sind, zu evaluieren.

    Außerdem ist es ein wichtiger Baustein der Weiterentwicklung der Rechtfertigungstheorie und damit auch von Erklärungstheorie und Wissenschaftstheorie.

    Eine Theorie der Erklärungskohärenz bildet zudem die Grundlage für eine allgemeine Kohärenztheorie, die ihre Anwendungen in nahezu allen Disziplinen der Philosophie hat.

    Schwerpunkt meiner Arbeit in der zurückliegenden Zeit war es vor allem - unter Berücksichtigung der existierenden Kohärenzkalküle von THAGARD und SCHOCH - eine tragfähige Vorstellung von dem zu entwickeln, wie ein Kohärenzproblem strukturiert ist und wie ein Kohärenzkalkül aussehen könnte.

    Dabei konnte ich auf eine neuere Arbeit von THAGARD und VERBEURGT zurückgreifen , zahlreiche Schwächen dieses Konzepts aufzeigen und Lösungsvorschläge erarbeiten, so dass heute die Struktur des von mir zu entwickelnden Kalküls klar ist, wenngleich einige Entscheidungen, wie wir sehen werden, noch gefällt werden müssen und einige Probleme im Umfeld dieser Kalkülstruktur offen sind.

    Außerdem habe ich die existierenden Kohärenzkalküle ECHO (von THAGARD) und COHEN (von SCHOCH) im Rahmen dieses Ansatzes derart rekonstruiert, dass zahlreiche implizite Prämissen und Entscheidungen der Autoren klar werden. Damit wurden die beiden Kalküle vergleichbar und was fast noch wichtiger ist, ihre Schwächen und Stärken deutlich. Insbesondere zur Behandlung der noch zu besprechenden Inkohärenzrelationen konnte ich so ein klareres Bild gewinnen.

    Weiterhin konnte ich zeigen, davon wird allerdings heute nicht zu reden sein, dass die meisten Bedingungen, die BARTELBORTH an einen Kohärenzbegriff stellt, innerhalb dieses Ansatzes erfüllt sind. Dieser Umstand wird allerdings dadurch getrübt, dass die Subsystembedingung und die Anomalienbedingung bisher aus meinem Kohärenzmodell nicht folgen.

    Die grundlegende Idee der Kohärenztheorie ist es, alle Hypothesen und Thesen auf dem Markt in einer Menge zusammenzufassen und anschließend solche Hypothesen und Thesen herauszugreifen, die als gerechtfertigt oder akzeptabel betrachtet werden können, die sich gegenseitig gut stützen.

    Da es Kohärenzprobleme nicht nur in der Erkenntnistheorie gibt, spreche ich häufig von Elementen, wenn ich Thesen und Hypothesen meine.

    Es gibt in allen Kohärenzproblemen Relationen zwischen den Elementen, die wir Kohärenzrelationen oder Inkohärenzrelationen nennen. Beispiele für Kohärenzrelationen im Falle von Überzeugungssystemen sind Erklärungen und evtl. Deduktionen.

    D. h., wenn einige Thesen oder Hypothesen durch eine Erklärung verbunden sind, haben wir zwischen ihnen eine Kohärenzrelation, eine Relation die ihren Zusammenhang ausdrückt.

    Inkonsistenzen und schwächere Relationen wie die Konkurrenz sind Beispiele für Inkohärenzrelationen.

    Die einzelnen Kohärenz- und Inkohärenzrelationen sind unterschiedlich bedeutend für den Zusammenhalt der beteiligten Thesen und Hypothesen. Daher greife ich eine Idee von THAGARD und VERBEURGT auf, und ordne den Kohärenz- und Inkohärenzrelationen ein Maß zu, das die Stärke der Kohärenz- bzw. Inkohärenzrelation ausdrückt und auf Arbeiten in der Informatik bezug nehmend als Constraint bezeichnet wird.

    Wir haben bisher eine Menge der zu betrachtenden Thesen und Hypothesen und Kohärenz- und Inkohärenzrelationen zwischen ihnen, die durch Constraints gewichtet sind. Uns interessiert nun für eine beliebige Teilmenge der Menge der Thesen und Hypothesen, eine solche Teilmenge könnten z. B. die Thesen und Hypothesen einer bestimmten Theorie sein oder die Aussagen der Zeugen und Beschuldigten, die der Richter akzeptiert. Wir wollen diese Teilmenge bewerten und fragen uns wie gut sie als Menge zusammenpaßt.

    Dazu werden wir uns zunächst fragen, welche Kohärenz- und Inkohärenzrelationen in dieser Teilmenge, also betrachteten Theorie z. B., vorkommen, oder wie man in der Constraint-Theorie sagt, erfüllt sind.

    Wenn z. B. zwei Elemente, die in Kohärenzrelation stehen, beide akzeptiert werden, beide zu der Theorie gehören, ist die Kohärenzrelation erfüllt. So ist die Kohärenzrelation A erklärt, dass B, erfüllt, falls A und B zu dieser Überzeugungsmenge gehören. Ob die Erklärung auch in anderen Fällen als erfüllt bezeichnet werden kann, bleibt zu prüfen.

    Analog zu den erfüllten Relationen sprechen wir auch von erfüllten Constraints (Constraints waren die Maße für die Stärke der Relationen), wenn die dazugehörigen Relationen erfüllt sind.

    Kohärenzprobleme sind nun Probleme der Zerlegung der Menge aller Thesen und Hypothesen auf dem Markt in eine Akzeptanz- und eine Zurückweisungsmenge derart, daß die Constraints und damit die Kohärenz- und Inkohärenzrelationen in der Akzeptanzmenge so gut wie möglich erfüllt sind.

    In vielen Kohärenzproblemen können nicht alle Constraints gleichzeitig erfüllt werden. Es gibt daher keine vollkommene Lösung. Damit sind die meisten Kohärenzprobleme Probleme der teilweisen Constraint-Erfüllung.

    2 Kohärenz- und Inkohärenzrelationen

    2.1 Kohärenzrelationen

    Soweit zur allgemeinen Charakterisierung von Kohärenzproblemen. Nun etwas mehr zu den Details.

    Bei THAGARD finden sich Kohärenzrelationen lediglich als binäre Relationen. Er spricht auch von paarweiser Kohärenz.

    Die Verwendung der paarweisen Kohärenz begründet THAGARD mit technischen Aspekten der Realisierung seines Kalküls. THAGARD verwendet ein konnektionistisches Kalkül, in dem jede These und Hypothese ein Knoten darstellt und ist daher auf die binäre Verknüpfung der Knoten angewiesen. Da bisher eine Entscheidung für ein konnektionistisches Kalkül nicht nötig war, brauchen wir die Einschränkung auf binäre Kohärenzrelationen nicht.

    Wir sprechen nicht von einer Kohärenzrelation zwischen zwei Elementen, sondern zwischen beliebig vielen Elementen. Nach dieser Vorstellung stehen die Thesen und Hypothesen, die gemeinsam in einer Erklärung vorkommen, in einer solchen Kohärenzrelation.

    SCHOCH, der nicht mit einem konnektionistischen Ansatz, sondern mit einem fuzzy-logischen Ansatz arbeitet, hat wie ich, allerdings implizit, d. h. ohne von Kohärenzrelationen zu sprechen, ebenfalls keine Einschränkung der Kohärenzrelation, die sich aus Erklärungen ergibt, auf den binären Fall vollzogen.

    Die Bestimmung der Kohärenzrelation ist daher nur bei bestimmten Erklärungskonzeptionen adäquat, nämlich bei solchen, die irrelevante Bestandteile aus Erklärungen ausschließen können.

    Es hat sich in der Erklärungsdebatte gezeigt, dass es gar nicht leicht ist, irrelevante Bestandteile in Erklärungen zu identifizieren. Das Vorgehen von SCHOCH und mir entschärft das Problem irrelevanter Bestandteile von Erklärungen etwas, - allerdings ohne es vollständig zu lösen.

    Wie sich der Begriff der Kohärenzrelation präziser mit unseren Erklärungskonzepten verbindet, ist daher eine der nächsten Aufgaben meiner Arbeit.

    2.2 Kontradiktionen und konträre Propositionen

    Nicht nur die Kohärenzrelation, sondern auch die Inkohärenzrelation ist in THAGARDs Kalkül eine binäre Relation. THAGARD spricht von paarweiser Inkohärenz. Die Einschränkung von THAGARD resultiert wiederum aus seinem konnektionistischen Ansatz. SCHOCH ist dieser Einschränkung auch hier nicht gefolgt, da er in seinem fuzzy-logischen Ansatz dazu nicht gezwungen war.

    Tatsächlich ist die Einschränkung auf die paarweise Kohärenz höchst problematisch. Betrachten wir folgende drei Thesen: Chemnitz ist eine schöne Stadt, Chemnitz ist eine Industriestadt und Industriestädte sind nicht schön, so stehen die Thesen paarweise keinesfalls in einer Inkohärenzrelation, alle drei zusammen jedoch sehr wohl.

    THAGARD unterscheidet seit ca. 1992 zwei Arten der paarweisen Inkohärenz, die Kontradiktion (contradiction) und die Konkurrenz (competition).

    Dabei verwendet THAGARD den Begriff der Kontradiktion nicht im üblichen Sinne. Als Kontradiktionen bezeichnen wir gewöhnlich Aussagen, die weder gemeinsam wahr noch gemeinsam falsch sein können. THAGARD zählt jedoch auch konträre Propositionen, d. h. Propositionen die zwar nicht gemeinsam wahr, wohl aber gemeinsam falsch sein können, zu den Kontradiktionen. Er gibt als Beispiel die Sätze Der Ball ist rundum schwarz und Der Ball ist rundum weiß. Diese Sätze können nicht zugleich wahr, aber zugleich falsch sein, z. B. wenn der Ball rundum grün ist.

    Ich habe herausgefunden, dass die Unterscheidung von Kontradiktionen und konträre Propositionen in der Kohärenztheorie sehr wichtig ist, da ihre unterschiedlichen Wahrheitsbedingungen eine unterschiedliche Rolle spielen. Es gilt zwar durchaus, dass P und Q in einer Inkohärenzrelation stehen, wenn P und Q konträr sind, aber die Erfüllensbedingungen sind verschieden.

    ihrer unterschiedlichen Wahrheitsbedingungen eine unterschiedliche Rolle spielen. Es gilt zwar durchaus, dass P und Q in einer Inkohärenzrelation stehen, wenn P und Q

    Ich werde dieser Ungenauigkeit nicht folgen, da Kontradiktionen und konträre Propositionen in der Kohärenztheorie aufgrund ihrer unterschiedlichen Wahrheitsbedingungen eine unterschiedliche Rolle spielen. Allerdings gilt durchaus, dass P und Q in einer Inkohärenzrelation stehen, wenn P und Q konträr sind.

    2.3 Deduktionen

    In den Kalkülen von THAGARD und SCHOCH werden Deduktionen als kohärenzstiftende Beziehungen sehr stiefmütterlich behandelt.

    Der Grund ist naheliegend: Sie zielen mit ihren Kalkülen vor allem auf empirisch gestützte Theorien.

    Allerdings lassen sich im Kalkül von SCHOCH, oder allgemeiner wenn wir Kontradiktionen nicht nur als binäre Relationen betrachten, die deduktiven Ableitungen auf Kontradiktionen zurückführen.

    Haben wir eine Deduktion P1, ..., Pn ` Q können wir sie als Kontradiktion P1, ..., Pn, ?Q analysieren und das Kalkül abarbeiten. Analysieren wir deduktive Ableitungen anders, haben wir zu zeigen, dass das Kalkül gegen den Austausch der deduktiven Ableitung durch die Kontradiktion und umgekehrt immun ist.

    2.4 Der Konkurrenzbegriff

    Als Konkurrenzen bezeichnen wir Propositionen, die zwar sowohl zusammen wahr als auch zusammen falsch sein können, bei denen wir aber trotzdem dazu neigen, sie nicht gemeinsam zu akzeptieren.

    Ein Beispiel ist das Paar von Sätzen X ist Bankangestellter und X hat grüne Haare.

    Konkurrenzen sind im Gegensatz zu Kontradiktionen und konträren Gegensätzen in der Wissenschaftsgeschichte kaum analysiert worden, was sich auch als Nachteil für die Kohärenztheorie erweist. Es ist eine klare Aufgabe in der Theorie der Konkurrenzen weiterzukommen. In einem ersten Schritt habe ich verschiedene Konkurrenzformen unterschieden, auf die ich hier nicht eingehen werde. Ich möchte lediglich probabilistische Konkurrenzen als ein Beispiel anführen.

    BONJOUR und BARTELBORTH zählen Aussagen wie p und p ist unwahrscheinlich zu den Inkonsistenzen, obwohl sie wissen, dass sie nicht widersprüchlich im streng logischen Sinne sind.

    Betrachten wir die Wahrheitsbedingungen zeigt sich, dass es sich hier nicht um Inkonsistenzen (Kontradiktionen), sondern um Konkurrenzen handelt.

    THAGARD und SCHOCH diskutieren diesen Typ der Konkurrenz nicht. Allerdings lassen sich probabilistische Konkurrenzen zumindest in das Kalkül von SCHOCH integrieren.

    3 Constraints

    3.1 Positive Constraints

    Wir hatten schon festgehalten, dass Kohärenz- und Inkohärenzrelationen unterschiedlich stark auf den Zusammenhalt von Überzeugungssystemen wirken und wir haben gesagt, dass wir für die Stärke ein Maß angeben wollen, das wir Constraint nennen.

    Um nicht für die Kohärenzrelationen und Inkohärenzrelationen unterschiedliche Maße benutzen zu müssen, verwenden THAGARD/VERBEURGT ein positives Constraint, wenn es Maß für eine Kohärenzrelation ist und ein negatives Constraint, wenn es Maß für eine Inkohärenzrelation ist.

    Wir können nun für die verschiedenen Kohärenz- und Inkohärenzrelationen ein Maß suchen, dass der Kohärenzproblematik möglichst gerecht wird.

    THAGARD macht z. B. das Constraint einer Kohärenz von der Anzahl der Prämissen einer Erklärung abhängig. Es ist nichts prinzipiell schlechtes an Erklärungen mit vielen Voraussetzungen, aber wir be- vorzugen Theorien, in denen die Zahl der Voraussetzungen in den Erklärungen geringer sind.

    Im Kalkül von SCHOCH ist das, was wir positives Constraint nennen, frei wählbar. Gewöhnlich wird der Wert +1 gesetzt. SCHOCH behauptet nicht, aus den vorliegenden Erklärungen eine Güte der Erklärungen ableiten zu können und muß daher auf Überlegungen über das untersuchte Überzeugungssystem als auf das Meta-Überzeugungssystem verweisen.

    Beide Ansätze sind höchst unbefriedigend.

    Weitere Überlegungen bezüglich der Constraints, die aus Erklärungen resultieren, werde ich in Zukunft aus der Analyse von Erklärungen abzuleiten haben.

    3.2 Negative Constraints

    Wir hatten festgehalten, das aus den Inkohärenzrelationen negative Constraints resultieren.

    Für die verschiedenen Typen von Inkohärenzrelationen müssen wir nun geeignete Constraints bestimmen, d. h. die Constraints sind so zu wählen, dass sie den jeweiligen Typen der Inkohärenzrelationen angemessen sind.

    Betrachten wir zunächst die Inkohärenzrelationen, die aus Kontradiktionen resultieren. Sowohl THAGARD als auch SCHOCH scheinen keine rechte Idee zu haben, wie wir diese Relationen gewichten sollen.

    Für SCHOCH steht fest, dass sein Kalkül nur brauchbare Ergebnisse liefert, wenn er die Inkohärenzrelationen stärker gewichtet als die Kohärenzrelationen. Folgerichtig arbeitet er häufig mit einem Wert (negativen Constraint) von -4, überläßt es aber dem Anwender seines Kalküls, einen anderen Wert zu wählen. Auch für THAGARD ist klar, dass der Wert größer sein muß als der für die Kohärenzrelationen. Als Standardwert verwendet er den Wert -0,06 und so ist bei ihm der Betrag eines negativen Constraints, das aus einer Kontradiktion resultiert mindestens 3-mal so groß wie ein positives Constraint, das aus einer Erklärung resultiert.

    Behandelten THAGARD und SCHOCH Deduktionen wie die ihnen entsprechenden Kontradiktionen - weder THAGARD noch SCHOCH hatten diese Idee - kämen sie zu dem gleichen Vorgehen.

    Konträre Propositionen werden von beiden Autoren wie Kontradiktionen behandelt. Dies ist korrekt, wenn man die unterschiedlichen Erfüllensbedingungen berücksichtigt, die wir später diskutieren werden. Was die Constraints der Konkurrenzen angeht, wissen wir noch wenig. Ich werden nur dann genaueres herauszubekommen, wenn ich die Theorie der Konkurrenzen weiterentwickele.

    4 Constraint-Erfüllung

    Haben wir bestimmt, welche Kohärenz- und Inkohärenzrelationen zu verwenden sind und welches Maß für ihre Güte adäquat ist, müssen wir entsprechend unserer allgemeinen Charakterisierung von Kohärenzproblemen klären, was es heißt, dass ein Constraint erfüllt ist.

    In einem Artikel von THAGARD und VERBEURGT finden wir - von mir vorsichtig verallgemeinert - folgende Charakterisierung der Constraint-Erfüllung:

    (PS1) Ein positives Constraint zwischen zwei oder mehr Elementen ist erfüllt, wenn entweder alle diese Elemente zur Akzeptanzmenge gehören oder alle diese Elemente zur Zurückweisungsmenge gehören.
    (NS1) Ein negatives Constraint zwischen zwei oder mehr Elementen ist dann und nur dann erfüllt, wenn mindestens ein Element zur Akzeptanzmenge und mindesten ein Element zur Zurückweisungs- menge gehört.

    SCHOCH benutzt implizit eine andere Erfüllungsbedingung für negative Constraints als die Bedingung, die für einfache Kohärenzprobleme gilt. Wir können seine Bedingung auf folgende Weise beschreiben:

    (NS2) Ein negatives Constraint zwischen zwei oder mehr Elementen ist erfüllt, wenn mindestens eines der Elemente zur Zurückweisungsmenge gehört.

    Anders als bei einfachen Kohärenzproblemen ist hier ein negatives Constraint auch erfüllt, wenn alle Elemente zurückgewiesen werden. Diese Bedingung ist für viele Constraints adäquater als die Bedingung von THAGARD und VERBEURGT.

    Allerdings ist diese Bedingung für Kontradiktionen nicht sehr plausibel. Wir wissen z. B., daß ~a und a eine Kontradiktion bilden und werden kaum diese Kontradiktion als erfüllt betrachten, wenn sowohl ?a als auch a in der Zurückweisungsmenge liegen.

    Anders liegt der Fall bei den konträren Propositionen Der Ball ist rundum schwarz und Der Ball ist rundum weiß. Hier haben wir keine Probleme, die Inkohärenzrelation als erfüllt zu betrachten, wenn beide Aussagen in der Zurückweisungsmenge liegen, da ja z. B. Der Ball ist rundum grün akzeptiert werden kann. Während also für Kontradiktionen die Bedingung (NS1) adäquat ist, muß im zweiten Beispiel die Bedingung (NS2) als adäquat betrachtet werden.

    Betrachten wir die verschiedenen Typen von Konkurrenzen erweist sich (NS2) als adäquat.

    Wir finden bei SCHOCH implizit auch eine Bedingung für positive Constraints, die sich wie folgt formulieren läßt:

    (PS2) Ein positives Constraint zwischen zwei oder mehr Elementen wird dann und nur dann erfüllt, wenn alle seine Elemente zur Akzeptanzmenge gehören.

    Anders als in einfachen Kohärenzproblemen ist ein positives Constraint nicht erfüllt, wenn alle seine Elemente zur Zurückweisungsmenge gehört.

    Die Bedingung (PS2) ist für die von uns betrachteten Kohärenzrelationen plausibler als (PS1). Dies hat weitreichende Auswirkungen auf das Kohärenzkalkül.

    5 Daten

    Für unsere Überzeugungen spielen Daten eine große Rolle. Die Kohärenztheorie wird nur vollständig, wenn man diese in die Diskussion einschließt. Um diesen Bereich der Theorie voranzubringen, habe ich einige Typen von Kohärenzproblemen, insbesondere die fundamentalen und die unterscheidenden Kohärenzprobleme erstmals genauer beschrieben und weitere Typen in die Diskussion gebracht. Es ist hier nicht der Ort diese Typen zu diskutieren. Die ersten Ergebnisse habe ich auf einer Tagung in Ungarn vorgetragen. Sie werden englisch und ungarisch erscheinen.

    6 Akzeptanzgrade

    Es ist offensichtlich - und auch wiederholt in der philosophischen Literatur reflektiert worden - dass nicht jede interessierende Eigenschaft ohne Willkür als zweiwertiges, scharfes Prädikat beschrieben werden kann. Dies gilt auch für die Zuordnung zu Akzeptanzmenge. D. h. nicht immer läßt sich die Akzeptanz einer Überzeugung klar feststellen.

    Die traditionelle Logik kann mit solchen unscharfen Eigenschaften nicht arbeiten. Man könnte versuchen die Vagheit der Akzeptanz durch Vergröberung zu beseitigen, d. h. einen scharfen Akzeptanzbegriff zu bilden.

    Eine zweite Variante ist es, die Akzeptanzmenge als unscharfe Menge (fuzzy set) zu betrachten. Solche Mengen sind dadurch gekennzeichnet, dass die Beziehung des Elementseins eine Abstufung zwischen wahr und falsch zuläßt. Zadeh, der bei seinen Überlegungen zur allgemeinen Systemtheorie die unscharfen Mengen einführte, wählt als abstufende Enthaltenseinsgrade die Menge der reellen Zahlen zwischen 0 und 1 als Menge aller möglichen Enthaltenseinswerte von Elementen in unscharfen Mengen.

    SCHOCH wählt für sein Kalkül eine mehrwertige Logik, deren Quasiwahrheitswertmenge die Menge W? ist. Die Menge der ausgezeichnete Quasiwahrheitswerte ist die Menge der Quasiwahrheitswerte > 0,5. Als Negation verwendet SCHOCH die Łukasiewicz-Tarski-Negation und als Konjunktion das Algebraische Produkt . Verwendet man die aus dieser mehrwertigen Logik folgende fuzzy- Mengenlehre, ergibt sich eine Mengenlehre, deren Enthaltenseinsgrade die Menge von Zadeh ist. SCHOCHs Kohärenzgrade lassen sich daher als Enthaltenseinsgrade und mithin als Akzeptanzgrade lesen.

    Die Zurückweisungsmenge ist gerade die Komplementärmenge zur Akzeptanzmenge und mithin auch eine vage Menge.

    Die Wahl der Menge W? ist nicht der wesentliche Punkt des Ansatzes. So kann man für THAGARD, der freilich weder von fuzzy-Sets noch von einer mehrwertigen Logik redet, sondern von der Akzeptierbarkeit spricht, sagen, dass er de facto die Menge der reellen Zahlen zwischen -1 und 1 als Enthaltenseinsgrade verwendet. Ausgezeichnet sind die Akzeptanzgrade > 0.

    Die Mengen der Enthaltenseinsgrade von SCHOCH und THAGARD sind durch eine 1-1-Abbildung aufeinander reduzierbar.

    Eine Analogie zu Negation oder Konjunktion gibt es bei THAGARD nicht. Projeziert man jedoch die Enthaltenseinsgrade von THAGARD auf die Menge W?, ist die Rückweisungsmenge von THAGARD die Komplementärmenge der Akzeptanzmenge bezüglich der Łukasiewicz-Tarski-Negation.

    7 Vagheit der Constraint-Erfüllung

    Betrachten wir die Akzeptanzmenge und die Zurückweisungsmenge als vage Menge und nicht als klassische Menge, müssen wir auch die Constraint-Erfüllung neu diskutieren.

    Was soll es z. B. im Rahmen eines vagen Akzeptanzbegriffes heißen, dass alle Elemente eines Constraints zur Akzeptanzmenge gehören?

    Am naheliegendsten ist es auch das Erfülltsein der Constraints graduell zu lesen und als Konjunktion der Enthaltenseinseigenschaft zu betrachten. Fraglich ist dann nur, welche mehrwertige Konjunktion adäquat ist. SCHOCH verwendet explizit das Algebraische Produkt.

    Versucht man THAGARD im Rahmen unserer fuzzy-set-Auffassung zu rekonstruieren, findet man heraus, dass er ebenfalls das Algebraische Produkt nimmt.

    Freilich muß eine wesentlich größere Zahl von mehrwertigen Konjunktionen in Betracht gezogen werden.

    SCHOCH wählt das Algebraische Produkt, da es differenzierbar ist und sein Kalkül daher in konkreten Fällen leichter berechenbar wird. THAGARD verwendet das Algebraisch Produkt (implizit) allein deshalb, weil es bei dem konnektionistischen Modell, das seinem Kalkül zugrunde liegt, üblich ist, mit dem Produkt zu rechnen.

    8 Systematische Kohärenz als Maß der Constraint-Erfüllung

    Wir hatten festgestellt, dass Kohärenzprobleme Probleme der Zerlegung der Menge in eine Akzeptanzmenge und eine Zurückweisungsmenge derart sind, dass die Constraints so gut wie möglich erfüllt sind. Was heißt dies nun aber? Wie sind die einzelnen Constraint-Erfüllungen zu aggregieren?

    SCHOCH und THAGARD wählen dieselbe Idee, freilich in unterschiedlichem theoretischen Rahmen: so gut wie möglich heißt für beide, die Summe der Grade der Erfüllung der einzelnen Constraints soll maximal sein.

    Während THAGARD die Summe wählen muß, wenn er konnektionistische Modelle anwenden will, hätten SCHOCH auch anderen Wege offen gestanden. So hätte er z. B. die (mehrwertige) Konjunktion der Erfüllung der einzelnen Constraints maximieren können. Bei ihm ergäbe dies statt der Summe das Produkt, bei anderen mehrwertigen Konjunktionen erhalten wir noch andere Maße und mithin auch andere Ergebnisse.

    Welches Kalkül wir wählen müssen, ist wie so oft in der Logik, nicht offensichtlich. Es scheint kein Kriterium für die Auswahl der sogenannten Kohärenzfunktion zu geben. Lediglich die Anwendung des Kalküls kann uns Rückschlüsse auf die anzuwendende Kohärenzfunktion geben.

    Das Maß der Constraint-Erfüllung, dass wir in den verschiedenen Typen von Kohärenzproblemen beschrieben haben, entspricht dem, was als Kohärenz des Systems bzw. als systematische Kohärenz bezeichnet wird.

    Damit können wir aber THAGARDs "goodness-of-fit" bzw. "harmony" oder SCHOCHs Maximum der Kohärenzfunktion als systematische Kohärenz lesen. In meinem Konzept ist die systematische Kohärenz die Summe der Constraints, die erfüllt sind.

    9 Kohärenz und Konsistenz

    In der Tradition haben Kohärenztheoretiker zumeist zwei Faktoren als wesentlich für Kohärenz angesehen: Konsistenz und Verbundenheit. Konsistenz wird dabei gewöhnlich als Minimalbedingung betrachtet.

    Das Verhältnis von Kohärenz und Konsistenz wird durch mein Kalkül klarer.

    Inkonsistenzen sind die Grundlage für Inkohärenzrelationen und gehen damit als negative Constraints in unsere Kohärenzüberlegungen ein.

    Diese Constraints sind erfüllt, wenn mindestens eines der in einer Inkonsistenz verknüpften Elemente nicht akzeptiert wird. Insofern gilt die von BARTELBORTH formulierte Inkonsistenzbedingung, die sich bei ihm als eine Bedingung der (systematischen) Inkohärenz findet und die sich vermittels der Bedingung des Inkohärenzgrades als Eigenschaft der systematischen Kohärenz formulieren läßt:

    X ist um so kohärenter, je weniger Inkonsistenzen in X auftreten.

    10 Literatur

    • Bartelborth, T.: Begründungsstrategien. Ein Weg durch die analytische Erkenntnistheorie. Berlin 1996
    • Black, M.: Vagueness: an exercise in logical analysis. Philosophy of Science (1937) 4, 427 - 455
    • Black, M.: Reasoning with loose concepts. Dialogue (1963) 2, 1 - 12
    • Freuder, E. C./Wallace, R. J.: Partial constraint satisfaction. Artificial Intelligence 58 (1992), 21 - 70
    • Hempel, C. G.: Vagueness and logic. Philosophy of Science (1939) 6,163 - 180
    • Rescher, N.: Die Kriterien der Wahrheit. In: Skirbekk, G.: Wahrheitstheorien. Frankfurt a. Main 61997
    • Rolf, B.. Topics on Vagueness. Philosophische Dissertation. Univ. Lund 1981
    • Russell, B.: Vagueness. Australasian Journal Philosophy (1923) 1, 84 - 92
    • Schoch, D.: A Fuzzy Measure for Explanatory Coherence (forthcoming)
    • Thagard, P.: Conceptual Revolutions. Princeton, N. J. 1992
    • Thagard, P./Verbeurgt, K.: Coherence as Constraint Satisfaction. Cognitive Science, 22 (1998), 1 - 24
    • Thagard, Paul (forthcoming). Probabilistic networks and explanatory coherence. In P. O'Rorke/J. Josephson (Eds.), Automated abduction: Inference to the best explanation, Menlo Park